Question

3．如图，在正方形中，点E是AD的中点，CF=3DF，连结并延长EF交BG的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠A=∠D=90°，证明$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$，结合∠A=∠D，得到△ABE∽△DEF．
（2）证明△DEF∽△CGF，得到$\frac{ED}{CG}$=$\frac{DF}{CF}$，结合DE=2，CF=3DF，求出CG的长度，即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$；
又∵CF=3DF，即DF=$\frac{1}{4}$DC，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DF}{DE}$，即$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{DE}$；
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF．

（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
∴$\frac{ED}{CG}$=$\frac{DF}{CF}$；
又∵CF=3DF，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．

点评 本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点．