Question

如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长a₁=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a₁，a₂，a₃，…，a_n，根据上述规律，则第n个正方形的边长a_n的表达式为（　　）

• A．

  2n

• B．

  2n

• C．

  2n+1

• D．

  2n-1

Answer 1

分析：求a₂的长即AC的长，根据直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以计算，同理计算a₃、a₄．由求出的a₂=

2

a₁，a₃=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．

解答：解：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，
a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；
由此可知：
a₂=

2

a₁=

2

，a₃=

2

a₂=(

2

)2a₁=2，a₄=

2

a₃=(

2

)3a₁=2

2

；…
故找到规律a_n=(

2

)n-1=

2n-1

．
故选D．

点评：本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n的规律是解题的关键．