Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M、N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，﹣2）是抛物线y＝x2+n的T型点，则n的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】n

【解析】

y=x2+n是对称轴为y轴的抛物线，顶点为（0，n），根据新定义可知：H与抛物线的两点能组成等边三角形，即直线AH与抛物线的交点，其交点就是等边三角形的另两点M、N，根据题意得∠AHO=30°，∠OAH=60°，OH=2，利用三角函数求出点A的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，当抛物线与直线有交点时，才有H（0，-2）是抛物线y=x2+n的T型点，因此列方程x2+n=x-2，有解时才有结论得出，即△≥0，解不等式即可．

如图，

∵H（0，-2）是抛物线y=x2+n的T型点，

∴∠AHO=30°，

tan30°=，

OA=2×，

∴A（，0），

∴通过H的直线的解析式为：y=x-2，

∵y=x2+n，

∴当x2+n=x-2有解时，才有H（0，-2）是抛物线y=x2+n的T型点，

即△=3-4（n+2）≥0，

n≤-，

∴当n≤-时，H（0，-2）是抛物线y=x2+n的T型点，

故答案为n≤-．