Question

8．已知关于x的一元二次方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）设x₁，x₂是原方程的两个实数根，当m为何值时，x₁²+x₂²有最小值？并求这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0有两个实数根，得出b²-4ac≥0，然后代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得x₁+x₂=2m，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（2m²+3m-2），再把x₁²+x₂²进行变形，即可得出x₁²+x₂²=2（m-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，再根据二次函数的性质和（1）中的m的取值即可得出答案．

解答 解：（1）∵一元二次方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0有两个实数根，
∴b²-4ac=（-4m）²-4×2（2m²+3m-2）≥0，
∴-24m+16≥0，
∴m≤$\frac{2}{3}$，
∴实数m的取值范围为≤$\frac{2}{3}$；
（2）∵x₁+x₂=2m，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（2m²+3m-2），
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2m）²-2×$\frac{1}{2}$（2m²+3m-2）=2m²-3m+2=2（m-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
∵m≤$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$＜$\frac{3}{4}$，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，x₁²+x₂²=2（$\frac{2}{3}$-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{7}{8}$=$\frac{8}{9}$，
∴当x=$\frac{2}{3}$时，m有最小值，最小值是$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系与二次函数的最值问题，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．