Question

（2013•宿城区一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为

10

．
（1）求m的值及抛物线的解析式；
（2）点P是线段AB上的一个动点，过点P作PN∥BC，交AC于点N，连接CP，当△PNC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）点D（2，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过M作MK⊥y轴，连接MC，由勾股定理求出CK的值，进而求出OK的值，即M点的纵坐标的长度，问题得解；
（2）设点P的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H，因为BC∥PN，所以△APN∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等，进而用含有m的代数式表示出NH，再利用S_△PNC=S_△ACP-S_△APN求出三角形PNC的面积，最后利用二次函数的性质可求出当△PNC的面积最大时，点P的坐标；
（3）存在．首先根据已知条件求出D的坐标，然后讨论：当AF为平行四边形的边时，接着根据平行四边形的性质得到F的坐标；当AF为平行四边形的对角线时，分别求出满足条件的F点的坐标即可．

解答：解：（1）过M作MK⊥y轴，连接MC，
由勾股定理得CK=3，
∴OK=1，
∴m=-1．    
过点M作MQ⊥x轴，连接MB，
由勾股定理得BQ=3，
∴B（4，0），
又M在抛物线的对称轴上，
∴A（-2，0），
∴

16a+4b-4=0 4a-2b-4=0

，
解得：

a= 1 2 b=-1

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x2-x-4；

（2）设点P的坐标为（m，0），过点N作NH⊥x轴于点H（如图）．
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（4，0），
∴AB=6，AP=m+2，
∵BC∥PN，
∴△APN∽△ABC，
∴

NH

CO

=

AP

AB

，
∴

NH

4

=

m+2

6

，
∴NH=

2

3

（m+2），
∴S_△PNC=S_△ACP-S_△APN=

1

2

AP•OC-

1

2

AP•HN=

1

2

（m+2）[4-

2

3

（m+2）]=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
∴当m=1时，S_△PNC有最大值3．此时，点P的坐标为（1，0）；

（3）在x轴上存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
F₁（0，0）、F₂（-4，0）、F3(5+

17

，0)、F4(5-

17

，0)．

点评：此题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法确定函数的解析式、平行四边形的性质及轴对称的性质，综合性比较强，要求学生有很强的综合分析问题，解决问题的能力，同时相关的基础知识也熟练掌握．