Question

19．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．
（1）求∠BAE的度数；     
 （2）求∠EAD的度数；
（3）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β间的等量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠B、∠C的度数利用三角形内角和定理即可求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠BAE的度数；
（2）由∠B、∠ADB的度数利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数，再根据∠EAD=∠BAD-∠BAE代入数据即可得出结论；
（3）猜想∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α），重复（1）（2）的过程找出∠BAD和∠BAE的度数，二者做差即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-30°-50°=100°．
又∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×100°=50°．
（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-30°=60°，
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-50°=10°．
（3）∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α），理由如下：
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β．
又∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）．
∵∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）．

点评 本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求出∠BAE的度数；（2）利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；（3）结合（1）（2）猜想出结论．