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    如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x，0），其中x＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
    （1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P，使P到点A与点C的距离之和最小；
    （2）若△PAC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
    （3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△PHM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
    （4）在（3）的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）

    【答案】分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P；
    （2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x，而解得；
    （3）由△OBC∽△CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到三角形MHP三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
    （4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点．
    解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A，
    所以当y=0，则x=-6，
    所以点A（-6，0）．
    同理点C（0，8），
    由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，
    ∴-6，x是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根，
    ∴-6+x=-，-6x=，
    ∴a=-，b=-+．
    ∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P．
    设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx+n=0，
    ∴m=-，n=8．
    ∴BC的解析式为y=-x+8．
    ∴当x=-=时，y=+4，
    ∴P的坐标为（，+4）；

    （2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10，
    +=10，
    解得x=10或x=-10（不符舍去），
    则点B（10，0），
    由点A，B，C三点的二次函数式为y==-（x-2）2+．
    顶点N（2，）；

    （3）如图，作MN⊥BC于点N，
    则△OBC∽△NCM，
    所以=，
    即h=．
    因为MH∥BC，
    所以，
    解得MH==，
    S=MH•h，
    =×（8-2t）×，
    =10t-，
    因为每秒移动2个单位，
    则当t=2时符合范围0＜t＜4，
    所以当t为2时S最大为10；

    （4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，
    从而得到点M的坐标，
    ，即=-t2+10t，
    则解得t1=，t2=．
    则由题意知C、E、F三点所在圆半径为4，
    所以直线CN与C、F、E所在圆相切．
    点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
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    29
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