Question

2．如图，已知抛物线y=ax²-2$\sqrt{3}$ax-9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$均为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）由点C的坐标为（0，3），可知-9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（$\sqrt{3}$，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．

解答 解：（1）∵C（0，3）．
∴-9a=3，解得：a=-$\frac{1}{3}$．
令y=0得：ax²-2 x-9a=0，
∵a≠0，
∴x²-2 x-9=0，解得：x=-$\sqrt{3}$或x=3$\sqrt{3}$．
∴点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），B（3$\sqrt{3}$，0）．
∴抛物线的对称轴为x=$\sqrt{3}$．
（2）∵OA=$\sqrt{3}$，OC=3，
∴tan∠CAO=$\sqrt{3}$，
∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠DAO=30°．
∴DO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AO=1．
∴点D的坐标为（0，1）
设点P的坐标为（$\sqrt{3}$，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD²=4，AP²=12+a²，DP²=3+（a-1）²．
当AD=PA时，4=12+a²，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a-1）²，解得a=0或a=2（舍去），
∴点P的坐标为（$\sqrt{3}$，0）．
当AP=DP时，12+a²=3+（a-1）²，解得a=-4．
∴点P的坐标为（$\sqrt{3}$，-4）．
综上所述，点P的坐标为（$\sqrt{3}$，0）或（$\sqrt{3}$，-4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：-$\sqrt{3}$m+3=0，解得：m=$\sqrt{3}$，
∴直线AC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+3．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=-$\frac{1}{k}$，
∴点N的坐标为（-$\frac{1}{k}$，0）．
∴AN=-$\frac{1}{k}$+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}k-1}{k}$．
将y=$\sqrt{3}$x+3与y=kx+1联立解得：x=$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$．
∴点M的横坐标为$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=$\frac{2}{k-\sqrt{3}}$+$\sqrt{3}$．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，
∴AM=2AG=$\frac{4}{k-\sqrt{3}}$+2$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}k-2}{k-\sqrt{3}}$．
∴$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}k-2}$+$\frac{k}{\sqrt{3}k-1}$=$\frac{k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}k-2}$+$\frac{2k}{2\sqrt{3}k-2}$=$\frac{3k-\sqrt{3}}{2\sqrt{3k-2}}$=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-1）}{2（\sqrt{3}k-1）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．