Question

已知：如图，在?ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．
（1）试找出图中的等腰三角形，并选择一个加以说明．
（2）试说明：AE=DG．
（3）若BG将AD分成3：2的两部分，且AD=10，求?ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）由平行四边形的性质及角平分线的性质即可得出△ABG，△DCE是等腰三角形；
（2）由于BG将AD分成3：2的两部分，所以应分两种情况，即AG：GD=3：2，或AG：GD=2：3，进而求解即可．

解答：解：（1）△ABG，△DCE是等腰三角形．
在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，
∴∠AGB=∠GBC，
又BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，即AB=AG，
∴△ABG是等腰三角形；

（2）由（1）可得AB=AG=CD=DE，
∴AE=DG；

（3）假设AG：GD=3：2，
∵AD=10，∴AB=AG=

3

5

AD=6，
∴平行四边形的周长为2（10+6）=32；
当AG：GD=2：3时，则AB=AG=

2

5

AD=4，
∴平行四边形的周长为2（10+4）=28．
所以平行四边形ABCD的周长为32或28．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及角平分线的性质，能够运用平行四边形的性质求解一些简单的证明、计算问题．