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13.如图,?ABCD中,E为AD的中点,BE、CD相交于点F.
(1)求证:AB=DF
(2)若△DEF的面积为S1,△BCF的面积为S2,且S12-S2+4=0,求?ABCD的面积.

分析 (1)根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,平行线的性质得到∠A=∠EDF,根据全等三角形的性质即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$,求得S2=4S1,解方程得到S1=2,求得S2=8,于是得到结论.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠A=∠EDF,
又∵E为AD中点,
∴AE=DE,
在△ABE和△DFE中$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠EDF}\\{AE=DE}\\{∠1=∠2}\end{array}}\right.$,
∴△ABE≌△DFE(ASA),
∴AB=DF,

(2)解:∵△ABE≌△DFE,
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC,
∵DE∥BC,
∴△FED∽△FBC
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$,
∴即S2=4S1
∵S12-S2+4=0,
∴S12-4S1+4=0,∴S1=2,
∴S2=8,
又∵△ABE≌△DFE,
∴?ABCD的面积=S△BCF=8.

点评 本题考查了相似三角形的,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

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