Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CD⊥AB，垂足为D．

（1）求证：∠PCA＝∠ABC；

（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，交BC于点M，若∠CAB＝2∠B，CF＝，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.

（2）先求出△OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出、 、 的值，利用，然后通过计算即可解答.

解：（1）证明：连接OC，如图，

∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,

∴∠PCA+∠ACO=90,

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90

∴∠PCA=∠OCB,

∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,

∴∠PCA=∠ABC；

（2）连接OE，如图，

∵△ACB中，∠ACB＝90,∠CAB＝2∠B,

∴∠B＝30,∠CAB＝60,∴△OCA是等边三角形，

∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90,

∴∠ACD＝∠B＝30,

∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30,∴FC=FA,

同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=,

Rt△ACM中，易得AC=×=3＝OC,

∵∠B＝∠CAE＝30,∴∠AOC=∠COE=60,

∴∠EOB=60,∴∠EAB=∠ABC=30,∴MA=MB,

连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，

∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝OA×tan30= ,

∵△CDO≌△EDO(AAS)，

∴EG=CD=AC×sin60=，

∴,

同样，易求，

∴=.