Question

（1）探索：解下列方程，将得到的两根x₁，x₂和x₁+x₂，x₁•x₂的值填入下面的表格．

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x2+3x-4=0
2x2+x-1=0
3x2-5x+2=0

（2）猜想：x₁+x₂，x₁•x₂的值与一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）（x₁，x₂是其两个根）的各项系数a，b，c之间有何关系？
（3）利用一元二次方程的求根公式证明（2）中的猜想．

Answer 1

解：（1）

方程	x1	x2	x1+x2	x1•x2
x2+3x-4=0	-4	1	-3	-4
2x2+x-1=0		-1	-	-
3x2-5x+2=0		1

（2）根与系数的关系为：x₁+x₂=-，x₁x₂=．

（3）对于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数），当△≥0时，利用求根公式，得
x₁=，x₂=-．
x₁+x₂=+-=-，
x₁x₂=（）•（-）=（）²-（）²=．
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=是正确的．
分析：（1）对方程分解因式求解：
第一个：（x+4）（x-1）=0，x₁=-4，x₂=1；
第二个：（2x-1）（x+1）=0，x₁=，x₂=-1；
第三个：（3x-2）（x-1）=0，x₁=，x₂=1．并分别计算出两根之积，两根之和填入表格中．
（2）（3）首先求出方程的两个实根，求和，求积，即可证明根与系数的关系为：x₁+x₂=-，x₁x₂=．
点评：本题是找规律题，首先通过计算求出各个方程的根，观察后得出猜测，再用求根公式进行证明．