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    （2013•黄埔区一模）如图，Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点B、C的坐标分别为（3，0），（1，4）．
    （1）写出点E的坐标，并利用尺规作图直接在图中作出旋转中心Q（保留作图痕迹，不写作法）；
    （2）求直线AE对应的函数关系式；
    （3）将△ADE沿垂直于x轴的线段PT折叠，（点T在x轴上，点P在AE上，P与A、E不重合）如图，使点A落在x轴上，点A的对应点为点F．设点T的坐标为（x，0），△PTF与△ADE重叠部分的面积为S．
    ①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
    ②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
    ③是否存在这样的点T，使得△PEF为直角三角形？若存在，直接写出点T的坐标；若不存在，请说有理由．
    分析：（1）根据旋转前、后的图形全等，可知△ABC≌△DEA，则AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出点E的坐标；根据对应点到旋转中心的距离相等可知旋转中心Q既在线段AD的垂直平分线上，又在线段BE的垂直平分线上，为此，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；
    （2）设直线AE的函数关系式为y=kx+b，将A、E两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出；
    （3）①分两种情况：（i）当点F在AD之间时，1＜x≤3，重叠部分是△PTF，由S△PTF=
    1
    2
    TF•PT=
    1
    2
    AT•PT，可求出S与x之间的函数关系式；（ii）当点F在点D的右边时，3＜x＜5，重叠部分是梯形PTDH，由S梯形PTDH=
    1
    2
    （PT+HD）•TD，可求出S与x之间的函数关系式；
    ②分两种情况：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S与x之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合自变量的取值范围，即可求解；
    ③由于tan∠EAD=
    1
    2
    ，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，则∠EPF≠90°，当△PEF为直角三角形时，分两种情况进行讨论：（i）当△PFE以点E为直角顶点时，作EF⊥AE交x轴于F，由△AED∽△EFD，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解；（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，由△AED∽△EF′D，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解．
    解答：解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，
    ∴△ADE≌△CAB，
    ∴AD=CA=4，DE=AB=2，
    ∴OD=OA+AD=1+4=5，
    ∴E点坐标为（5，2）．
    连接BE，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；                

    （2）设直线AE对应的函数关系式为y=kx+b，
    ∵A（1，0），E（5，2），
    ∴
    k+b=0
    5k+b=2
    ，解得
    k=
    1
    2
    b=-
    1
    2
    ，
    ∴直线AE对应的函数关系式为y=
    1
    2
    x-
    1
    2
    ；

    （3）①分两种情况：
    （i）当点F在AD之间时，重叠部分是△PTF，如图．
    ∵点P在AE：y=
    1
    2
    x-
    1
    2
    上，PT⊥x轴，点T的坐标为（x，0），
    ∴PT=
    1
    2
    x-
    1
    2
    ．
    ∵OT=x，OA=1，
    ∴AT=OT-OA=x-1，
    ∴TF=AT=x-1．
    ∵S△PTF=
    1
    2
    TF•PT=
    1
    2
    AT•PT=
    1
    2
    （x-1）•（
    1
    2
    x-
    1
    2
    ）=
    1
    4
    （x-1）2，
    ∴S=
    1
    4
    x2-
    1
    2
    x+
    1
    4
    ．
    ∵当F与D重合时，AT=
    1
    2
    AD=2，
    ∴1＜x≤3；
    （ii）当点F在点D的右边时，重叠部分是梯形PTDH．
    ∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
    ∴△FDH∽△ADE，
    ∴
    HD
    DF
    =
    ED
    AD
    =
    1
    2
    ，
    ∴HD=
    1
    2
    DF=
    1
    2
    [2（x-1）-4]=x-3，
    ∴S梯形PTDH=
    1
    2
    （PT+HD）•TD=
    1
    2
    （
    1
    2
    x-
    1
    2
    +x-3）•（5-x）=-
    3
    4
    x2+
    11
    2
    x-
    35
    4
    ，
    当T与D重合时，点F的坐标是（9，0），
    ∴3＜x＜5．
    综上所述，S=
    1
    4
    x2-
    1
    2
    x+
    1
    4
     (0＜x≤3)
    -
    3
    4
    x2+
    11
    2
    x-
    35
    4
     (3＜x＜5)
    ；

    ②（i）当1＜x≤3时，∵S=
    1
    4
    （x-1）2，
    ∴S随x的增大而增大，
    ∴当x=3时，S有取大值，且最大值是S=
    1
    4
    （3-1）2=1；
    （ii）当3＜x＜5时，∵S=-
    3
    4
    x2+
    11
    2
    x-
    35
    4
    =-
    3
    4
    （x-
    11
    3
    ）2+
    4
    3
    ，
    ∴当x=
    11
    3
    时，S有最大值，且最大值是
    4
    3
    ；
    综上所述，当x=
    11
    3
    时，S有最大值，且最大值是S=
    4
    3
    ；

    ③存在这样的点T（
    7
    2
    ，0）和（
    5
    2
    ，0），能够使得△PEF为直角三角形．
    分两种情况：
    （i）当△PFE以点E为直角顶点时，如图，作EF⊥AE交x轴于F．
    ∵△AED∽△EFD，
    ∴
    DF
    ED
    =
    ED
    AD
    =
    1
    2
    ，
    ∴DF=
    1
    2
    DE=1，
    ∴点F（6，0），
    ∴点T（
    7
    2
    ，0）；
    （ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，如图．
    ∵△AED∽△EF′D，
    ∴
    DF′
    DE
    =
    DE
    AD
    =
    1
    2
    ，
    ∴DF′=
    1
    2
    DE=1，
    ∴点F′（4，0），
    ∴点T（
    5
    2
    ，0）．
    综上（i）、（ii）知，满足条件的点T坐标为（
    7
    2
    ，0）和（
    5
    2
    ，0）．
    点评：本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的画法，运用待定系数法求一次函数的解析式，图形面积的求法，二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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