【题目】已知点,,,,动点以每秒个单位长度的速度沿运动(不与点,重合),设运动时间为秒.
图(1) 图(2)
(1)求经过,,三点的抛物线的函数表达式;
(2)点在(1)中的抛物线上,当为的中点时,若,求点的坐标;
(3)当在上运动时,如图(2),过点作轴,,垂足分别为,,交于点,设矩形与重叠部分的面积为,当为何值时,最大,最大值是多少?
【答案】(1);(2)或;(3)当时,取得最大值为
【解析】
(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c,将点A(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式即可;
(2)由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点,点P的纵坐标是1,代入解析式问题可解;
(3)分别用t表示GM、BF、MF表示面积,则问题可解.
解:(1)设抛物线的函数表达式为,则
解这个方程组,得
(2)
,
点为线段的垂直平分线与抛物线的交点
点的纵坐标为
由,
得,
所以点的坐标为或
(3),
,又
所以当时,取得最大值为
【点解】
本题考查二次函数综合;熟练应用待定系数法求函数解析式,掌握三角形全等的性质,直线交点的求法是解题的关键.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB为直径的⊙O交BC于点E,且点E是的中点,连接AD交BE于点F,连接EA,ED.
(1)求证:AC=AF;
(2)若EF=2,BF=8,求AF的长.
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为直线x=1,且与x轴的一个交点为A(3,0),下列说法错误的是( )
A.b2>4acB.abc<0
C.4a﹣2b+c>0D.当x<﹣1时,y随x的增大而增大
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【题目】如图,在一单位为1的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜边在x轴上、斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0),A2(1,﹣1),A3(0,0),则依图中所示规律,A2019的坐标为_____.
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【题目】如图1,为放置在水平桌面上的台灯,底座的高为.长度均为的连杆,与始终在同一水平面上.
(1)旋转连杆,,使成平角,,如图2,求连杆端点离桌面的高度.
(2)将(1)中的连杆绕点逆时针旋转,使,如图3,问此时连杆端点离桌面的高度是增加了还是减少?增加或减少了多少?(精确到,参考数据:,)
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【题目】定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
理解:
如图1,点在上,的平分线交于点,连接求证:四边形是等补四边形;
探究:
如图2,在等补四边形中连接是否平分请说明理由.
运用:
如图3,在等补四边形中,,其外角的平分线交的延长线于点求的长.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=+b与图象G交于点B,与y轴交于点C.
(1)求k的值;
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含边界)为W.
①当b=﹣1时,直接写出区域W内的整点个数;
②若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.
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【题目】如图,是ABC的外接圆,AB为直径,∠BAC的平分线交于点D,过点D作DEAC分别交AC、AB的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是的切线;
(2)若AC=4,CE=2,求的长度.(结果保留)
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【题目】已知,如图,抛物线的顶点为,经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点.
(1)求抛物线的解析式和直线的解析式.
(2)在抛物线上两点之间的部分(不包含两点),是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点在抛物线上,点在轴上,当以点为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出满足条件的点的坐标.
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