【题目】如图,已知直线分别交轴、轴于、两点,抛物线经过、两点,点是抛物线与轴的另一个交点(与点不重合).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上求一点,使的周长最小,并求出最小周长和点的坐标;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.
【答案】(1) ;(2) ;(3)存在,,,,.
【解析】
(1)由直线解析式可求得A、B两点的坐标,根据待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)连接BC,直线BC与对称轴的交点即为点P.求出直线BC的解析式,求出点P的坐标,即可求解.
(3)分MA=AB,MB=AB,MB=MA三种情况进行讨论.
解:(1)直线
,
把A,B两点的坐标分别代入得:
∴抛物线的解析式为
(2)连接BC,直线BC与对称轴的交点即为点P.易求直线BC的解析式为,抛物线对称轴为直线,当P(-1,-2)时最小周长为.
(3)存在,理由如下:
抛物线的对称轴为::
①当MA=AB时,∵OA=1,OB=3
,
②当MB=AB时, (不合题意)
,
③当MB=MA时,
,
故共存在四个点
.
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【题目】某课桌生产厂家研究发现,倾斜12°~24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究,厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面.新桌面的设计图如图1,AB可绕点A旋转,在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD,AC=30 cm.
(1)如图2,当∠BAC=24°时,CD⊥AB,求支撑臂CD的长;
(2)如图3,当∠BAC=12°时,求AD的长.(结果保留根号)
(参考数据:sin 24°≈0.40,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.46,sin 12°≈0.20)
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线上在x轴下方的动点,过M作MN∥y轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)E是抛物线对称轴上一点,F是抛物线上一点,是否存在以A,B,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,0)、B(3,1)、C(1,3).
(1)将△ABC沿x轴负方向移动2个单位长度至△A1B1C1,画图并写出点C1的坐标;
(2)以点A1为旋转中心,将△A1B1C1逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,画图并写出点C2的坐标;
(3)以B、C1、C2为顶点的三角形是 三角形,其外接圆的半径R= .
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【题目】如图,点A,B为定点,定直线l//AB,P是l上一动点.点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:
①线段MN的长;
②△PAB的周长;
③△PMN的面积;
④直线MN,AB之间的距离;
⑤∠APB的大小.
其中会随点P的移动而变化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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【题目】为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
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【题目】为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,每盒售价每提高1元,每天要少卖出20盒.
(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;
(2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?
(3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于58元.如果超市想要每天获得不低于6000元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒?
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【题目】(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
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