Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=4，M为AB中点，D是射线BC上的一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为2．

Answer 1

分析 连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．推出△ADK≌△ABE，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角，求出BC=4，AB=4$\sqrt{2}$，MB=2$\sqrt{2}$，由ME≥MG，于是得到当ME=MG时，ME的值最小．

解答 解：连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．
在△ADK与△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AK=AB}\\{∠KAD=∠BAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADK≌△ABE，
∴∠ABE=∠K=45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴AB=4$\sqrt{2}$，
∵M为AB中点，
∴BM=2$\sqrt{2}$，
∴MG=2，
∵∠G=90°
∴BM≥MG，
∴当ME=MG时，ME的值最小，
∴ME=BE=2
故答案为：2．

点评 本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，证明线段最短有一定的难度．但通过构造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质就变得容易．