Question

15．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC中点，∠FGE=45°．
（1）求证：AO•OD=OB•OG；
（2）求证：∠EBC=∠GAO；
（3）若E为AC中点，求EF：FD．

Answer 1

分析 （1）先证明∠BAD=45°，然后证明△AOB∽△GOD得到AO：OG=OB：OD，然后利用比例性质可得到结论；
（2）利用比例性质由AO•OD=OB•OG得到$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OG}{OD}$，加上∠AOG=∠BOD，则可判断△AOG∽△BOG，从而根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设AB=AC=2a，则AE=a，利用勾股定理计算出BE=$\sqrt{5}$a，再证明△ADC为等腰直角三角形得到∠C=45°，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$a，接着利用（2）的结论证明∠AGO=∠ODB=90°，则可证明△EAG∽△EBA，利用相似比可表示出GE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，然后证明△FEG∽△FDC，则利用相似比可计算出EF：FD的值．

解答 （1）证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=45°，
∵∠OGD=∠FGE=45°，
∴∠BAO=∠OGD，
而∠AOB=∠GOD，
∴△AOB∽△GOD，
∴AO：OG=OB：OD，
∴AO•OD=OB•OG；
（2）证明：∵AO•OD=OB•OG，
∴$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OG}{OD}$，
而∠AOG=∠BOD，
∴△AOG∽△BOG，
∴∠OAG=∠OBD，
即∠EBC=∠GAO；
（3）解：连结DE，如图，设AB=AC=2a，则AE=a，
∴BE=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∵AD平分BC，
∴AD⊥BC，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴∠C=45°，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\sqrt{2}$a，
∵∠EBC=∠GAO，
∴∠AGO=∠ODB=90°，
∵∠AEG=∠BEA，
∴△EAG∽△EBA，
∴AE：BE=GE：AE，即a：$\sqrt{5}$a=GE：a，
∴GE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
∵∠FGE=∠C，∠GFE=∠CFD，
∴△FEG∽△FDC，
∴$\frac{FE}{FD}$=$\frac{GE}{DC}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}a}{5}}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的综合题：熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质；灵活运用相似三角形的性质证明等积式、证明角相等或计算相应的线段长．