Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB+CD．

（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；

②若CD＝2，AB＝4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可；

（2）①延长DE交AB的延长线于F．只要证明AD=AF，DE=EF，利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题；②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK．由MB=MK，推出MB+MN=KM+MN，根据垂线段最短可知：当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长.

（1）如图，∠ADC的平分线DE如图所示，

（2）延长DE交AB的延长线于F，

∵CD∥AF，

∴∠CDE＝∠F，

∵∠CDE＝∠ADE，

∴∠ADF＝∠F，

∴AD＝AF，

∵AD＝AB+CD＝AB+BF，

∴CD＝BF，

∵∠DEC＝∠BEF，

∴△DEC≌△FEB，

∴DE＝EF，

∵AD＝AF，

∴AE⊥DE；

②作点B关于AE的对称点K，连接EK，作KH⊥AB于H，DG⊥AB于G．连接MK，

∵AD＝AF，DE＝EF，

∴AE平分∠DAF，则△AEK≌△AEB，

∴AK＝AB＝4，

在Rt△ADG中，DG，

∵KH∥DG，

∴，

∴，

∴KH，

∵MB＝MK，

∴MB+MN＝KM+MN，

∴当K、M、N共线，且与KH重合时，KM+MN的值最小，最小值为KH的长，∴BM+MN的最小值为．