【题目】如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD于点E、F.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)当四边形DEBF是菱形时,求EF的长.
【答案】(1)详见解析;(2)
【解析】
(1)根据矩形的性质得到AB∥CD,由平行线的性质得到∠DFO=∠BEO,证明△DOF≌△BOE,根据全等三角形的性质得到DF=BE,于是证明四边形BEDF是平行四边形;
(2)根据四边形BEDF是菱形,得到DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,设AE=x,则DE=BE=8-x根据勾股定理求出DE,BE,再求出BD,OD,最后根据勾股定理求出OE,EF,问题得解.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DFO=∠BEO,
∵∠DOF=∠BOE ,OD=OB,
∴△DOF≌△BOE,
∴DF=BE,
∵DF∥BE,
∴四边形BEDF是平行四边形;
(2)∵四边形DEBF是菱形
∴DE=BE,EF⊥BD,OE=OF,
设AE=x,则DE=BE=8-x,
在Rt△ADE中,根据勾股定理得,
解得,
∴DE=BE=,
在Rt△ABD中,BD=,
∴OD=,
在Rt△EOD中,OE=,
∴EF=2OE= .
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【题目】某中学兴趣小组为了解全校学生星期六和星期日在家使用手机的情况,兴趣小组随机抽取若干名学生,调查他们周末两天的使用手机时间,并根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计表和统计图.根据图表信息,解答下列问题:
阅读时间 (小时) | 频数 (人) | 频率 |
1≤x<2 | 9 | 0.15 |
2≤x<3 | a | m |
3≤x<4 | 18 | 0.3 |
4≤x<5 | 12 | n |
5≤x<6 | 6 | 0.1 |
合计 | b | 1 |
(1)填空:a= ,b= ,m= ,n= :
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)这个中学的学生共有1200人,根据上面信息来估算全校学生中周末两天使用手机时间不低于4小时的学生大约有多少人?
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【题目】矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,E是边BC上的点,以AE为折痕折叠纸片,使点B落在点F处,连接FC,当△EFC为直角三角形时,BE的长为 .
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【题目】重庆是长江上游地区的经济中心、金融中心和创新中心.某公司为了调动员工积极性,将公司员工分成了三个小组进行集分制考核:每月销售业绩第一名集x分,销售业绩第二名集y分,销售业绩第三名集0分(x>y,且均为正整数),经过若干个月(超过4个月)考核后,第一小组集分为23分,第二小组集分为20分,第三小组集分为9分,则第一小组最多得到_____次第二名.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.“清明时节雨纷纷”是必然事件
B.为了解某灯管的使用寿命,可以采用普查的方式进行
C.甲乙两组身高数据的方差分别为、,那么乙组的身高比较整齐
D.一组数据3,5,4,5,6,7的众数、中位数和平均数都是5
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【题目】如图所示,⊙O是正方形ABCD的外接圆,P是⊙O上不与A、B重合的任意一点,则∠APB等于( )
A.45° B.60° C.45° 或135° D.60° 或120°
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【题目】对于两个非零整数x,y,如果满足这两个数的积等于它们的和的6倍,称这样的x,y为友好整数组,记作<x,y> ,<x,y>与<y,x>视为相同的友好整数组.请写出一个友好整数组__________ ,这样的友好整数组一共有__________组 .
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【题目】“武汉加油!中国加油!”疫情牵动万人心,每个人都在为抗击疫情而努力.某厂改造了条口罩生产线,每条生产线每天可生产口罩个.如果每增加一条生产线,每条生产线就会比原来少生产个口罩.设增加条生产线后,每条生产线每天可生产口罩个.
直接写出与之间的函数关系式;
若每天共生产口罩个,在投入人力物力尽可能少的情况下,应该增加几条生产线?
设该厂每天可以生产的口罩个,请求出与的函数关系式,并求出增加多少条生产线时,每天生产的口罩数量最多,最多为多少个?
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【题目】某县为落实“精准扶贫惠民政策”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合作施工15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成.则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?
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