Question

如图，△ABC的三条内角平分线相交于点O，过点O作OE⊥BC于E点，
（1）求证：∠BOD=∠COE．
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长．

Answer 1

（1）证明：∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AF0）
=180°-[∠BAC+∠ABC+∠ACB]
=180°-[（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+∠ACB]
=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．

（2）解：∵AB=17，AC=8，BC=15，
∴AC²+BC²=289，
AB²=289，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC为直角三角形，
∴EO==3．
分析：（1）在△AOF中，利用三角形的内角和定理，以及角平分线的定义，可以利用∠ACB表示出∠AOF，则∠BOD即可得到，然后在直角△OCE中，利用直角三角形的两个内角互余以及角平分线的定义，即可利用∠ACB表示出∠COE，从而证得结论．
（2）先判断为直角三角形，用面积法或直角三角形内切圆半径公式求出OE=3．
点评：本题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理以及直角三角形内切圆的半径公式等知识，正确求得∠AOF是关键．