Question

（2013•镇江二模）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=4，tan∠ABD=

1

2

，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；
（2）根据切线的性质得到ED=EB，OE⊥BD，则∠ABD=∠OEB，得到tan∠CDA=tan∠OEB=

OB

BE

=

1

2

，易证Rt△CDO∽Rt△CBE，得到

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

1

2

，求得CD，然后在Rt△CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长．

解答：（1）证明：连OD，OE，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=

1

2

，
∴tan∠OEB=

OB

BE

=

1

2

，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴

CD

CB

=

OD

BE

=

OB

BE

=

1

2

，
∴CD=

1

2

•4=2，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴（x+2）²=x²+4²，
解得x=3．
即BE的长为3．

点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．