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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点EF分别在边ACBC上)

1)若△CEF△ABC相似.

AC=BC=2时,AD的长为   

AC=3BC=4时,AD的长为   

2)当点DAB的中点时,△CEF△ABC相似吗?请说明理由.

【答案】解:(1

2)当点DAB的中点时,△CEF△ABC相似。理由如下:

如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q

∵CDRt△ABC的中线,∴CD=DB=AB∴∠DCB=∠B

由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°

∴∠DCB+∠CFE=90°

∵∠B+∠A=90°∴∠CFE=∠A

∵∠C=∠C∴△CEF∽△CBA

【解析】

1)若△CEF△ABC相似.

AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示,

此时DAB边中点,AD=AC=

AC=3BC=4时,有两种情况:

I)若CECF=34,如答图2所示,

∵CECF=ACBC∴EF∥BC

由折叠性质可知,CD⊥EF

∴CD⊥AB,即此时CDAB边上的高。

Rt△ABC中,AC=3BC=4∴BC=5

∴cosA=∴AD=ACcosA=3×=

II)若CFCE=34,如答图3所示.

∵△CEF∽△CAB∴∠CEF=∠B

由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°

∵∠A+∠B=90°∴∠A=∠ECD∴AD=CD

同理可得:∠B=∠FCDCD=BD∴AD=BD

此时AD=AB=×5=

综上所述,当AC=3BC=4时,AD的长为

2)当点DAB的中点时,△CEF△ABC相似.可以推出∠CFE=∠A∠C=∠C,从而可以证明两个三角形相似。

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