【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)
(1)若△CEF与△ABC相似.
①当AC=BC=2时,AD的长为 ;
②当AC=3,BC=4时,AD的长为 ;
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
【答案】解:(1)①。
②或。
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似。理由如下:
如答图3所示,连接CD,与EF交于点Q,
∵CD是Rt△ABC的中线,∴CD=DB=AB,∴∠DCB=∠B。
由折叠性质可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°。
∵∠B+∠A=90°,∴∠CFE=∠A。
又∵∠C=∠C,∴△CEF∽△CBA。
【解析】
(1)若△CEF与△ABC相似.
①当AC=BC=2时,△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示,
此时D为AB边中点,AD=AC=。
②当AC=3,BC=4时,有两种情况:
(I)若CE:CF=3:4,如答图2所示,
∵CE:CF=AC:BC,∴EF∥BC。
由折叠性质可知,CD⊥EF,
∴CD⊥AB,即此时CD为AB边上的高。
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴BC=5。
∴cosA=。∴AD=ACcosA=3×=。
(II)若CF:CE=3:4,如答图3所示.
∵△CEF∽△CAB,∴∠CEF=∠B。
由折叠性质可知,∠CEF+∠ECD=90°。
又∵∠A+∠B=90°,∴∠A=∠ECD,∴AD=CD。
同理可得:∠B=∠FCD,CD=BD。∴AD=BD。
∴此时AD=AB=×5=.
综上所述,当AC=3,BC=4时,AD的长为或。
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似.可以推出∠CFE=∠A,∠C=∠C,从而可以证明两个三角形相似。
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【题目】已知△ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)如图①所示,若AB为⊙O的直径,要使EF成为⊙O的切线,还需要添加的一个条件是(至少说出两种): 或者 .
(2)如图②所示,如果AB是不过圆心O的弦,且∠CAE=∠B,那么EF是⊙O的切线吗?试证明你的判断.
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【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数,其中.
(1)若函数的图象经过点(2,6),求函数的表达式;
(2)若一次函数的图象与的图象经过x轴上同一点,探究实数,满足的关系式;
(3)已知点和在函数的图象上,若,求的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABDC内接于半圆O,AB为直径,AD平分∠CAB,AB﹣AC=4,AD=3,作DE⊥AB于点E,则BE的长为_____,AC的长为_____.
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【题目】已知抛物线与形状相同,开口方向不同,其中抛物线:交x轴于A,B两点点A在点B的左侧,且,抛物线与交于点A与.
求抛物线,的函数表达式;
当x的取值范围是______时,抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;
直线轴,分别交x轴,,于点,P,Q,当时,求线段PQ的最大值.
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【题目】某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A. 该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B. 该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C. 若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人
D. 当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷
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