Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，-3），抛物线的顶点为点D，连接AC、BC．
（1）求这条抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点M的坐标为（-1，0）．问：是否存在这样的直线l，使得OF+MF最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）①若P′为抛物线上一动点，且∠ACP'=∠BCO，请求出点P'的坐标；
②在抛物线第三象限的图象上有两点R与E（点R在点E右侧），且RE∥x轴，过点A作x轴的垂线AN'，连接AE，在线段AE上有一点G，作射线RG交垂线AN'于点N，当2∠ERG+∠EGR=90°，且AE：RN=3：2时，求RE的长及△REG的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）作点O关于AC的对称点E，连接AE，CE，当E、F、M三点共线时，线段最短，结合正方形的性质推知：（MF+OF）_最小=ME，确定F的位置，根据平行相似可得F的纵坐标，即是P的纵坐标，代入抛物线的解析中可求得对应x的值；
（3）①分两种情况：当P′在x轴的上方或下方时，分别根据tan∠BCO=$\frac{1}{3}$，构建直角三角形，先求直线CP'的解析式，再求直线CP'与抛物线的交点即可；
②延长RE交AN于F，则RF⊥AN，先证明△AFE∽△RFN则$\frac{AE}{RN}=\frac{AF}{RF}=\frac{EF}{FN}$=$\frac{3}{2}$，设R（x，x²+2x-3），根据比例式列方程可得R的坐标，从而得RE的长；则再求G的坐标，可得△EGR的底边ER对应的高GM，利用三角形面积公式可得结论．

解答 解：（1）∵抛物线过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴D（-1，-4）；

（2 ）存在，如图1，作点O关于AC的对称点E，连接EM、AE，CE，EM与直线AC交于F，连接OF，
∵OA=OC，
∴易知，四边形AOCE是正方形，此时（MF+OF）_最小=ME，
∴AE=OC=3，
∵M（-1，0），
∴AM=2，
过F作H₁H₂∥y轴，分别交x轴于H₁，交EC于H₂，
∵AM∥EC，
∴△AFM∽△CFE，
∴$\frac{AM}{EC}=\frac{F{H}_{1}}{F{H}_{2}}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{F{H}_{1}}{F{H}_{2}}$，
∵H₁H₂=AE=3，
∴FH₁=$\frac{6}{5}$，
∴P的纵坐标为-$\frac{6}{5}$，将y=-$\frac{6}{5}$代入抛物线y=x²+2x-3中，解得，x=$\frac{-5±\sqrt{70}}{5}$；
∴P（$\frac{-5-\sqrt{70}}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或（$\frac{-5+\sqrt{70}}{5}$，-$\frac{6}{5}$）；

（3）①当P'在x轴的上方时，如图2，
过E作EF⊥AC于F，
∵OA=OC=3，∠AOC=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
设AF=EF=x，则AE=$\sqrt{2}$x，
∵∠ACP'=∠BCO，
∴tan∠ACP'=tan∠BCO，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{EF}{FC}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC=3EF=3x，
∵AC=3$\sqrt{2}$，
∴x+3x=3$\sqrt{2}$，
x=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$×$\sqrt{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵E（-$\frac{3}{2}$，0），
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
把E（-$\frac{3}{2}$，0）和C（0，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线CE的解析式为：y=-2x-3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$，
x²+2x-3=-2x-3，
x²+4x=0，
x（x+4）=0，
x₁=0（舍），x₂=-4，
∴P'（-4，5）；
当P'在x轴的下方时，如图3，
过A作AG⊥CP'于G，过G作EF⊥x轴于E，过C作CF⊥EF于F，
∴∠AGO=90°，
同理：∵∠ACP'=∠BCO，
∴tan∠ACP'=tan∠BCO，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{1}{3}$，
易得△AEG∽△GFC，
∴$\frac{AE}{GF}=\frac{EG}{FC}=\frac{AG}{GC}$=$\frac{1}{3}$，
∴GF=3AE，FC=3EG，
设AE=b，EG=a，
∵EF=OC=3，OE=FC=3a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a=b+3}\\{a+3b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{6}{5}}\\{b=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴G（-$\frac{18}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
同理得：直线CG的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-3，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-3}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$，
x²+2x-3=-$\frac{1}{2}$x-3，
x²+$\frac{5}{2}$x=0，
x（x+$\frac{5}{2}$）=0，
x₁=0（舍），x₂=-$\frac{5}{2}$，
∴P'（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$），
综上所述，点P'的坐标为（-4，5）或（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$）；

②延长RE交AN于F，则RF⊥AN，
∴∠ERG+∠FNR=90°，
∵2∠ERG+∠EGR=90°，
∴∠FNR=∠ERG+∠EGR，
∵∠FNR=∠FAE+∠AGN，∠AGN=∠EGR，
∴∠ERG=∠FAE，
∵∠AFE=∠AFE=90°，
∴△AFE∽△RFN，
∴$\frac{AE}{RN}=\frac{AF}{RF}=\frac{EF}{FN}$=$\frac{3}{2}$，
设R（x，x²+2x-3），
∴$\frac{-{x}^{2}-2x+3}{3+x}=\frac{3}{2}$，
2x²+7x+3=0，
（2x+1）（x+3）=0，
x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-3（舍），
∴R（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
由对称性得：E（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$），
∴RE=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴AF=$\frac{15}{4}$，EF=FR-ER=3-$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴FN=1，
∴AN=AF-FN=$\frac{15}{4}$-1=$\frac{11}{4}$，
∴N（-3，-$\frac{11}{4}$），
同理可得：RN的解析式为：y=-$\frac{2}{5}$x-$\frac{79}{20}$，
AE的解析式为：y=-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{2}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{5}x-\frac{79}{20}}\\{y=-\frac{5}{2}x-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{71}{42}}\\{y=-\frac{275}{84}}\end{array}\right.$，
∴G（-$\frac{71}{42}$，-$\frac{275}{84}$），
过G作GM⊥FR于M，
∴GM=$\frac{15}{4}$-$\frac{275}{84}$=$\frac{315}{84}$-$\frac{275}{84}$=$\frac{40}{84}$=$\frac{10}{21}$，
∴S_△REG=$\frac{1}{2}$ER•GM=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{10}{21}$=$\frac{5}{21}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角形相似的性质和判定、两函数的交点坐标、轴对称的最短路径问题等知识，比较复杂，计算量大，尤其是最后一问，注意利用数形结合的思想，并与方程相结合，解决问题，是一道综合性较强的压轴题．