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如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圆,M为圆心。

⑴求抛物线的解析式;
⑵求阴影部分的面积;
⑶在正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=K,△CPQ的面积为S,求S关于K的函数关系式,并求出S的最大值。
(1)y==x2-3x-4;(2);(3)S=-k2+2k,2.

试题分析:(1)已知了A、B、C三点坐标可用待定系数法求出抛物线的解析式.
(2)要求扇形的面积需要知道半径的长和扇形的圆心角的度数,先求圆心角∠AMC的度数,由于OB=OC,因此∠ABC=45°,根据圆周角定理可得出∠AMC=90°.再求半径,由于三角形AMC是等腰直角三角形,因此半径的平方等于AC的平方的一半,可在直角三角形OAC中求出AC的平方,据此可根据扇形的面积公式求出扇形的面积.
(3)求三角形CPQ的面积可以PQ为底,以OP为高,已知了PQ=k,在等腰直角三角形BPQ中,BP=PQ=k,也就能表示长OP的长,据此可求出S与k的函数关系,根据函数的性质即可求出S的最大值.
试题解析:(1)由抛物线经过A(-1,0),B(4,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4),
将C(0,-4)代入上式中,得-4a=-4,a=1.
∴y=(x+1)(x-4)=x2-3x-4.
(2)∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4).
∴OB=OC=4,OA=1
∴∠OBC=45°,∴∠AMC=90°
∴AM2+MC2=OA2+OC2=12+42=17
∴AM2=CM2=
∴S阴影=
(3)∠OBC=45°,PQ⊥x轴;
∴BP=PQ=k,
∴S=k•(4-k)=-k2+2k.
∴当k=2时,S最大值=2.
考点: 二次函数综合题.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是点P,对称轴与x轴相交于点Q,以点P为圆心,PQ长为半径画⊙P,那么下列判断正确的是(    )
A.x轴与⊙P相离;B.x轴与⊙P相切;
C.y轴与⊙P与相切;D.y轴与⊙P相交.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系中,矩形OABC过原点O,且A(0,2)、C(6,0),∠AOC的平分线交AB于点D.
(1)直接写出点B的坐标;
(2)如图,点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动.设移动时间为秒.

①当t为何值时,△OPQ的面积等于1;
②当t为何值时,△PQB为直角三角形;
(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-(x-t)2+t(t>0).问是否存在某一时刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

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如图,抛物线(b,c是常数,且c<0)与轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧),与轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).

(1)请直接写出点OA的长度;
(2)若常数b,c满足关系式:.求抛物线的解析式.
(3)在(2)的条件下,点P是轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个(直接写出结果)?

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).

(1)求抛物线的解析式;
(2)若动点P从点A出发,以每秒2个单位沿射线AC方向运动;同时,点Q从点B出发,以每秒1个单位沿射线BA方向运动,当点P到达点C处时,两点同时停止运动.问当t为何值时,△APQ∽△AOB?
(3)若M为线段AB上一个动点,过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N.
①是否存在这样的点M,使得四边形OMNB恰为平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
②当点M运动到何处时,四边形CBNA的面积最大?求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,某同学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的信息有(         )
A.4个B.3个C.2个D.1个

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若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1)、B(2,y2)、C(3+,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系正确的是(    )
A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y2

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抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴和顶点坐标分别是(  ).
A.x=1,(1,﹣4)B.x=1(1,4)
C.x=﹣1,(﹣1,4)D.x=﹣1,(﹣1,﹣4)

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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列四个结论

①a、b同号
②当x=1和x=3时函数值相等
③4a+b=0
④当y=时x的值只能取0
其中正确的个数
A.1个B.2个C.3个D.4个

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