Question

13．△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D，交⊙O于点E，连接AE．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠CAE；
（2）如图2，射线AO交线段BD于点F，交BC边于点G，连接CE，求证：BF=CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CO并延长，交线段BD于点H，交⊙O于点M，连接FM，交AB边于点N，若BH=DH，四边形BHOG的面积为5$\sqrt{2}$，求线段MN的长．

Answer 1

分析 （1）先依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明∠BAC+2∠C=180°，然后依据直角三角形两锐角互余以及等式的性质客的到2∠CAE+2∠E=180°，然后根据同弧所对的圆周角相等得到∠E=∠C，最后依据等量代换可得到要证明的结论；
（2）连接OB、OC．先依据SSS证明△ABO≌△ACO，从而得到∠BAO=∠CAO，然后在依据ASA证明△ABF≌△ACE，最后根据全等三角形的性质可证明BF=CE；
（3）连接HG、BM．先依据等腰三角形三线合一的性质证明BG=CG，从而得到HG是△BCD的中位线，接下来证明∠FHO=∠AFD=∠HFO，于是可得到HO=OF，然后依据同角的余角相等客证明∠OGH=∠OHG，从而得到OH=OG，故此可值OF=OG，接下来证明四边形MFGB是矩形，然后由MF∥BC客证明△MFH∽△CBH，从而可证明HF=FD．接下来再证明△ADF≌△GHF，由全等三角形的性质的到AF=FG，然后再证明△MNB≌△NAF，于是得到MN=NF．设S_△OHF=S_△OHG=a，则S_△FHG=2a，S_△BHG=4a，然后由S_{四边形BHOG}=5$\sqrt{2}$，可求得a=$\sqrt{2}$，设HF=x，则BH=2x，然后证明△GFH∽△BFG，由相似三角形的性质可得到HG=$\sqrt{2}$x，然后依据S_△BHG=$\frac{1}{2}$BH•HG=4$\sqrt{2}$，可求得x=2，故此可得到HB、GH的长，然后依据勾股定理可求得BG的长，于是容易求得MN的长．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠BAC+2∠C=180°．
∵BD⊥AC，
∴∠ADE=90°．
∴∠E+∠CAE=90°．
∴2∠CAE+2∠E=180°．
∵∠E=∠C，
∴2∠CAE+2∠C=180°．
∴∠BAC=2∠CAE．
（2）连接OB、OC．

∵AB=AC，AO=AO，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO．
∴∠BAO=∠CAO．
∵∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAO=∠CAE．
在△ABF和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAF=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE．
∴BF=CE．
（3）连接HG、BM．

∵AB=AC，∠BAO=∠CAO，
∴AG⊥BC，BG=CG．
∵BH=DH，
∴HG是△BCD的中位线．
∴HG∥CD．
∴∠GHF=∠CDE=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠OAC+∠AFD=90°，∠OCA+∠FHO=90°，
∴∠FHO=∠AFD=∠HFO．
∴HO=OF．
∵∠HFO+∠OGH=90°，∠OHF+∠OHG=90°，
∴∠OGH=∠OHG．
∴OH=OG．
∴OF=OG．
∵OM=OC，
∴四边形MFCG是平行四边形．
又∵MC是圆O的直径，
∴∠CBM=90°．
∴四边形MFGB是矩形．
∴MB=FG，∠FMB=∠AFN=90°．
∵MF∥BC，
∴△MFH∽△CBH．
∴$\frac{HF}{BH}=\frac{MF}{CB}=\frac{1}{2}$．
∴HF：HD=1：2．
∴HF=FD．
在△ADF和△GHF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠GFH}\\{∠ADF=∠GHF}\\{FH=FD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△GHF．
∴AF=FG．
∴MB=AF．
在△MNB和△NAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BMF=∠AFN=90°}\\{∠ANF=∠BNM}\\{MB=AF}\end{array}\right.$，
∴△MNB≌△NAF．
∴MN=NF．
设S_△OHF=S_△OHG=a，则S_△FHG=2a，S_△BHG=4a，
∴S_{四边形BHOG}=5a=5$\sqrt{2}$．
∴a=$\sqrt{2}$．
设HF=x，则BH=2x．
∵∠HHG=∠GFB，∠GHF=∠FGB，
∴△GFH∽△BFG．
∴$\frac{HF}{HG}=\frac{GH}{BH}$，即$\frac{x}{HG}=\frac{HG}{2x}$．
∴HG=$\sqrt{2}$x．
∴S_△BHG=$\frac{1}{2}$BH•HG=$\frac{1}{2}$×2x•$\sqrt{2}$x=4$\sqrt{2}$，解得：x=2．
∴HB=4，GH=2$\sqrt{2}$．
由勾股定理可知：BG=2$\sqrt{6}$．
∴MF=2$\sqrt{6}$．
∴MN=NF=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判断、勾股定理的应用、矩形的性质和判定，找出图中相似三角形和全等三角形是解题的关键．