Question

14．如图，在边长为1+$\sqrt{2}$的正方形ABCD中，P是BC边上的一点，把线段PA绕着点P顺时针旋转得到线段PQ．
（1）如图（左），若点Q恰好落在边CD上，∠APQ=60°，求∠BAP的度数；
（2）如图（右），若点Q落在正方形的外部．且∠APQ=90°，△CPQ是等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到AP=AQ，证明Rt△ABP≌Rt△ADQ，得到∠BAP=∠DAQ，得到答案；
（2）在AB上截取AE=PC，连接PE，证明△AEP≌△PCQ，得到PE=CQ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）由旋转的性质可知，PA=PQ，
∵∠APQ=60°，
∴△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，AP=AQ，
在Rt△ABP和Rt△ADQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△ADQ，
∴∠BAP=∠DAQ=30°；
（2）在AB上截取AE=PC，连接PE，
∵∠B=∠APQ=90°，
∴∠BAP+∠BPA=90°，∠QPC+∠BPA=90°，
∴∠BAP=∠QPC，
在△AEP和△PCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=PC}\\{∠EAP=∠CPQ}\\{PA=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AEP≌△PCQ，
∴PE=CQ，
∵PC=CQ，
∴PE=PC=AE，
∵AB=BC，AE=PC，
∴BE=BP，
∴AE=PE=$\sqrt{2}$BP，
∴$\sqrt{2}$BP+BP=1+$\sqrt{2}$，
∴BP=1．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．