Question

13．已知：如图，AB∥CD，BG、FG 分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，BG、FG交于点G．

（1）求证：∠BGF=90°；
（2）点M是直线AB上的动点，连接MG，过点G作GN⊥MG，交直线CD于点N，画出图形直线，写出∠MGE和∠NGF的数量关系∠MGE=∠NGF；
（3）在（2）的条件下，当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，求∠CNG的度数．

Answer 1

分析 （1）过点G作GP∥AB，根据平行线的性质，即可得出∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，再根据角平分线的定义，即可得到∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；
（2）分两种情况进行讨论：当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；
（3）分两种情况进行讨论，根据角的和差关系以及两直线平行，内错角相等进行计算，即可得出∠CNG的度数．

解答 解：（1）如图，过点G作GP∥AB，

∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，∠AEG=∠EGP，∠CFG=∠FGP，
∵EG、FG分别是∠AEF和∠CFE的角平分线，
∴∠AEG=$\frac{1}{2}$∠AEF，∠CFG=$\frac{1}{2}$∠CFE，
∴∠AEG+∠CFG=$\frac{1}{2}$∠AEF+$\frac{1}{2}$∠CFE=$\frac{1}{2}$（∠AEF+∠CFE）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠EGF=∠EGP+∠FGP，
∴∠EGF=∠AEG+∠CFG=90°；

（2）如图，当点M在射线EA上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；

当点M在射线EB上时，由∠MGN=∠EGF=90°，可得∠MGE=∠NGF；

故答案为：∠MGE=∠NGF；

（3）当点M在射线EA上时，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠EGN=∠MGN-∠MGE=90°-20°=70°，
∵AB∥GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=70°-40°=30°，
∵GP∥CD，
∴∠CNG=∠PGN=30°；
当点M在射线EB上时，
∵∠MGE=∠NGF，∠MGE=20°，
∴∠NGF=20°，
∴∠EGN=∠MGN+∠MGE=90°+20°=110°，
∵AB∥GP，∠AEG=40°，
∴∠PGE=∠AEG=40°，
∴∠PGN=∠EGN-∠PGE=110°-40°=70°，
∵GP∥CD，
∴∠CNG=∠PGN=70°，
综上所述：当∠MGE=20°，∠AEG=40°时，∠CNG=30°或70°．

点评 本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算求解．解题时注意分类思想的运用．