Question

已知：如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的⊙O，且AB=AD，延长CB、DA，交于P点，CE与⊙O相切于点C，CE与PD的延长线交于点E．当PB=OC，CD=18时，求DE的长．

Answer 1

如图，连接OA、BD，OA与BD交于F点，
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=

1

2

DC=9，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴

PO

PC

=

OA

DC

=

PA

PD

，
∵PB=OC，CD=18，
∴

2OB

3OB

=

OA

18

=

PA

PD

，解得OA=12，PA=

2

3

PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF=

122-92

=3

7

，
在Rt△ABF中，AB=

BF2+AF2

=6

2

，
∴PD=3×6

2

=18

2

，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥PC，EC²=DE•EA，
在Rt△PCE中，EC²=PE²-PC²，
∴DE•EA=PE²-PC²，即DE（DE+6

2

）=（18

2

+DE）²-36²，
∴DE=

54 2

5

．