Question

3．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）与y₂=-$\frac{3}{x}$（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．
（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；
（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3）作边长为2的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出a=-b，即可得出AB=2a，再利用三角形的面积公式即可得出结论；
（2）利用等腰三角形的两腰相等建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出直线CD和函数y1=$\frac{3}{x}$（x＞0）必有交点，根据点A的坐标确定出点C，F的坐标，进而得出FC，再判断FC与2的大小即可．

解答 解：（1）由题意知，点A（a，$\frac{3}{a}$），B（b，-$\frac{3}{b}$），
∵AB∥x轴，
∴$\frac{3}{a}=-\frac{3}{b}$，
∴a=-b；
∴AB=a-b=2a，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{3}{a}$=3；

（2）由（1）知，点A（a，$\frac{3}{a}$），B（b，-$\frac{3}{b}$），
∴OA²=a²+（$\frac{3}{a}$）²，OB²=b²+（-$\frac{3}{b}$）²，
∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，
∴OA=OB，
∴OA²=OB²，
∴a²+（$\frac{3}{a}$）²=b²+（-$\frac{3}{b}$）²，
∴a²-b²=（$\frac{3}{a}$）²-（$\frac{3}{b}$）²，
∴（a+b）（a-b）=（$\frac{3}{a}$+$\frac{3}{b}$）（$\frac{3}{a}$-$\frac{3}{b}$）=$\frac{3（a+b）}{ab}•\frac{3（b-a）}{ab}$，
∵a＞0，b＜0，
∴ab＜0，a-b≠0，
∵a+b≠0，
∴1=$\frac{9}{（ab）^{2}}$，
∴ab=3（舍）或ab=-3，
即：ab的值为-3；

（3）对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象都有交点．
理由：如图，
∵a≥3，AC=2，
∴直线CD在y轴右侧且平行于y轴，
∴直线CD一定与函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象有交点，
∵四边形ACDE是边长为2的正方形，且点D在点A（a，$\frac{3}{a}$）的左上方，
∴C（a-2，$\frac{3}{a}$），
∴D（a-2，$\frac{3}{a}$+2），
设直线CD与函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）相交于点F，
∴F（a-2，$\frac{3}{a-2}$），
∴FC=$\frac{3}{a-2}$-$\frac{3}{a}$=$\frac{6}{a（a-2）}$，
∴2-FC=2-$\frac{6}{a（a-2）}$=$\frac{2（a+1）（a-3）}{a（a-2）}$，
∵a≥3，
∴a-2＞0，a-3≥0，
∴$\frac{2（a+1）（a-3）}{a（a-2）}$≥0，
∴2-FC≥0，
∴FC≤2，
∴点F在线段CD上，
即：对大于或等于3的任意实数a，CD边与函数y₁=$\frac{3}{x}$（x＞0）的图象都有交点．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了三角形的面积公式，等腰三角形的性质，正方形的性质，解（1）的关键是求出AB，解（2）的关键是用等腰三角形的两腰OA=OB建立方程，解（3）的关键是表示出FC，是一道中等难度的中考常考题．