Question

14．如图，已知直线l：y=-x，双曲线y=$\frac{1}{x}$，在l上取一点A（a，-a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA、OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：依照题意画出图形，如图所示．

∵点A的坐标为（a，-a）（a＞0），
∴点B（a，$\frac{1}{a}$）、点C（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$）、点D（-$\frac{1}{a}$，-a），
∴OA=$\sqrt{（a-0）^{2}+（-a-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$a，OC=$\sqrt{（-\frac{1}{a}-0）^{2}+（\frac{1}{a}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$．
又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即$\sqrt{2}$a=2×$\frac{\sqrt{2}}{a}$或$\frac{\sqrt{2}}{a}$=2$\sqrt{2}$a，
解得：a₁=$\sqrt{2}$，a₂=-$\sqrt{2}$（舍去），a₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a₄=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去）．
故答案为：$\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是找出线段OA、OC的长．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再由两点间的距离公式求出线段的长度是关键．