Question

在矩形ABCD中，AB=14，BC=8，E在线段AB上，F在射线AD上．
（1）沿EF翻折，使A落在CD边上的G处（如图1），若DG=4，
①求AF的长；
②求折痕EF的长；
（2）若沿EF翻折后，点A总在矩形ABCD的内部，试求AE长的范围．

Answer 1

分析：（1）①根据折叠的性质，折叠前后线段相等，可得AF=FG，再由勾股定理即求AF的长．
②要求EF的长，可先求AE的长．由1可证△ADG∽△EAF，即求AE的长，根据勾股定理可求EF的长．
（1）若沿EF翻折后，点A总在矩形ABCD的内部，假设A点翻折后的落点为P，则P应该在以E为圆心，EA长为半径的圆上．要保证P总在矩形内部，CD与圆相离，BC与圆也要相离，则满足关系式：

AE＜8 14-AE＞AE

，求得0＜AE＜7．

解答：解：（1）①设AF=x，则FG=x，
在Rt△DFG中，
x²=（8-x）²+4²
解得x=5，
所以AF=5．
②过G作GH⊥AB于H，设AE=y，
则HE=y-4．
在Rt△EHG中，
∴y²=8²+（y-4）²，解得y=10，
在Rt△AEF中，EF=

AF2+AE2

=5

5

，
方法二：连接AG，由△ADG∽△EAF得

DG

AF

=

AD

AE

=

AG

EF

，
所以

AF

AE

=

1

2

．
∵AG=4

5

，AH=2

5

，FH=

5

，
∴AF=5，
∴AE=10，
∴EF=5

5

．

（2）假设A点翻折后的落点为P，
则P应该在以E为圆心，EA长为半径的圆上．
要保证P总在矩形内部，CD与圆相离；BC与圆若有公共点，则成为A的落点，
所以BC与圆也要相离，
则满足关系式：

AE＜8 14-AE＞AE

，
0＜AE＜7．

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后线段相等．以及勾股定理的应用．