Question

多彩数学，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理过程，请你指出其错误之处．如图：△ABC中，∠BAC的平分线和BC边的垂直平分线相交于D，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：AB=AC．
证明：连结BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM与Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你认为对吗？
分三种情况：
（1）AB=AC时成立；
（2）AB＞AC时，N在AC的延长线上；
（3）AB＜AC时，M在AB的延长线上．

Answer 1

分析：（1）当AB=AC时，解答正确；
（2）AB＞AC时，根据题意画出相应的图形，三条线段AB、AC、BE的等量关系为AB=AC+2BM，理由为：由AD为角平分线，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分线定理得到DM=DN，再由AD为公共边，利用HL得到直角三角形ADM与直角三角形ADN全等，由全等三角形的对应边相等得到M=AN，再由DE为线段BC的垂直平分线，利用线段垂直平分线定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM与直角三角形DNC全等，由全等三角形的对应边相等得到BM=CN，等量代换可得证．
（3）AB＜AC时，根据题意画出相应的图形，三条线段AB、AC、BE的等量关系为AC=AB+2BM，理由为：由AD为角平分线，DM垂直于AB，DN垂直于AC，利用角平分线定理得到DM=DN，再由AD为公共边，利用HL得到直角三角形ADM与直角三角形ADN全等，由全等三角形的对应边相等得到M=AN，再由DE为线段BC的垂直平分线，利用线段垂直平分线定理得到DB=DC，利用HL得出直角三角形DBM与直角三角形DNC全等，由全等三角形的对应边相等得到BM=CN，等量代换可得证．

解答：解：（1）AB=AC时，原证明成立．
（2）AB＞AC时
如图2所示：

三条线段AB、AC、BE的等量关系为AB=AC+2BM，理由如下：
∵AD为∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE为BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
则AB=AM+BM=AN+BM=AC+CN+BM=AC+2BM；
（3）AC=AB+2BM
∵AD为∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△ADM和Rt△ADN中，

DA=DA DM=DN

，
∴Rt△DMB≌Rt△DMC（HL），
∴AM=AN，
又OE为BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN，
则AC=AN+CN=AM+CN=AB+CN+BM=AC+2BM；

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，角平分线定理的运用，以及线段垂直平分线定理的运用，全等三角形的判定方法有：SSS；ASA；AAS；SAS，以及HL（直角三角形判定全等的方法）解答时证明三角形全等是关键．