Question

如图，点A在射线OP上，OA等于2cm．我们定义如下两种操作
操作一：30°旋转操作，记为X：
OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OB，那么点B的位置可以用（2，30°）表示；OB绕点O再按逆时针方向旋转30°到OC，那么点C的位置可以用（2，60°）表示．
操作二：线段加倍操作，记为Y：
如图，如果延长OA到点A′，使OA′=2OA，那么点A′的位置可以用（4，0°）表示；如果延长OB到点B′，使OB′=2OB，那么点B′的位置可以用（4，30°）表示．
（1）现操作如下：
第一次对点A进行X操作，得到第一个点A₁，其位置可以表示为（

 

，

 

°）；
第二次对点A₁进行Y操作，得到第二个点A₂，其位置可以表示为（

 

，

 

°）；
第三次对点A₂进行X操作，得到第三个点A₃，其位置可以表示为（

 

，

 

°）；
第四次对点A₃进行Y操作，得到第四个点A₄，其位置可以表示为（

 

，

 

°）；
…，如此依次进行操作X、Y、X、Y、…，可得到若干点；
（2）按如上操作，若经过t次操作后得到点A₂₀₀₈，其位置表示为（p，q°），则t、p、q的值分别为多少？
（3）若经过若干次操作后得到第i个点A_i，其位置表示为（m，n°），试用字母i的代数式表示m、n．

Answer 1

分析：（1）进行X操作，30°旋转操作，进行Y操作，线段加倍，可得答案；
（2）观察可得到点A₂₀₀₈，需进行2008次操作，那么t=2008，偶数次操作是线段长度变化的开始为2¹⁰⁰⁵，进而可得答案；
（3）结合（2）得到规律，对i分为奇数和偶数进行分析可得答案．

解答：解：（1）A₁（2，30°），A₂（4，30°），A₃（4，60°），A₄（8，60°）（4分）
每个括号两个都填对，给（1分），共（4分）；

（2）t=2008，p=2¹⁰⁰⁵，q=30×1004=30120．（10分）
答对一问给（2分），共（6分）；

（3）当i为奇数时，m=2

i+1

2

，n=30×

i+1

2

=15(i+1)，
当i为偶数时，m=2

i

2

+1=2

i+2

2

，n=15i．
代数式可以不化简，每种情况答对给（2分），共（4分）．（14分）

点评：解答此题的关键是理解操作的要点，难点是得到相应的规律．