Question

如图所示，在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE．求证：∠BAC=100°．

Answer 1

解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，
∴BD=CF，DA∥FC，
∴∠EAD=∠ECF，
∵AD=CE，AE=BD=CF，
∴△ADE≌△CEF（SAS）
∴ED=EF，
∵ED=BC，BC=DF，
∴ED=EF=DF
∴△DEF为等边三角形
设∠BAC=x，则∠ADF=∠ABC=，
∴∠DAE=180°-x，
∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2（180°-x）=2x-180°，
∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°
∴+（2x-180°）=60°
∴x=100°．
∴∠BAC=100°．
分析：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到BD=CF，DA∥FC，再利用SAS判定△ADE≌△CEF，根据全等三角形的性质可得到ED=EF，从而可推出△DEF为等边三角形，∠BAC=x，则∠ADF=∠ABC=，根据三角形内角和定理可分别表示出∠ADE，∠ADF，根据等边三角形的性质不难证明∠BAC=100°．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．