Question

5．如图，△ABC中，∠A=60°，△ABC高BE、CD交于点F，下列说法中：①AD•AB=AE•AC，②BF•EF=CF•DF，③S_△ABC=4S_△AED，④BC=2DE，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由∠ADC=∠AEB=90°，∠A=60°，求得∠ABE=∠ACD=30°，推出△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到AD•AB=AE•AC，故①正确，由于∠BFD=∠CFE，于是得到△BFD∽△CEF，根据相似三角形的性质得到$\frac{BF}{CF}=\frac{DF}{EF}$，得到BF•EF=CF•DF，故②正确；通过△ADE∽△ACB，得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²=$\frac{1}{4}$，于是得到S_△ABC=4S_△AED，故③正确，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，于是得到BC=2DE，故④正确．

解答 解：∵△ABC高BE、CD交于点F，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ABE=∠ACD=30°，
∴△ABE∽△ACD，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD•AB=AE•AC，故①正确，
∵∠BFD=∠CFE，
∴△BFD∽△CEF，
∴$\frac{BF}{CF}=\frac{DF}{EF}$，
∴BF•EF=CF•DF，故②正确；
∵∠A=∠A，$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ABC=4S_△AED，故③正确，
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴BC=2DE，故④正确．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．