Question

1．如图，点B，C是线段AD的三等分点，以BC为直径作⊙O，点P是圆上异于B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．
（1）当PB=$\frac{1}{2}$PC时，求tan∠APB的值；
（2）当P是$\widehat{BC}$上异于B，C的任意一点时，求tan∠APB•tan∠DPC的值．

Answer 1

分析 （1）首先过点B作BE∥PC，与PA交于点E，根据AB=BC，可得$\frac{EB}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，推得EB=PB；然后根据BC是⊙O的直径，求tan∠APB的值是多少即可．
（2）首先过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE△CBP，即可判断出BE=BP，AE=CP；最后推得tan∠APB=$\frac{AE}{PE}=\frac{PC}{2PB}$，tan∠DPC=$\frac{PB}{2PC}$，据此求出tan∠APB•tan∠DPC的值是多少即可．

解答 解：（1）如图1，过点B作BE∥PC，与PA交于点E，
，
∵AB=BC，
∴$\frac{EB}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴EB=$\frac{1}{2}PC$，
∵PB=$\frac{1}{2}PC$，
∴EB=PB，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠PBE=90°，
∴tan∠APB=$\frac{BE}{PB}=1$．

（2）如图2，过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E，
，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，∠AEP=90°，
在△ABE和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CPB=90°}\\{∠ABE=∠CBP}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBP，
∴BE=BP，AE=CP，
∴tan∠APB=$\frac{AE}{PE}=\frac{PC}{2PB}$，
∴tan∠DPC=$\frac{PB}{2PC}$，
∴tan∠APB•tan∠DPC=$\frac{PC}{2PB}•\frac{PB}{2PC}=\frac{1}{4}$，
即tan∠APB•tan∠DPC的值为$\frac{1}{4}$．

点评 （1）此题主要考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（2）此题还考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（3）此题还考查了解直角三角形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解直角三角形时要用到的关系．