Question

如图，一货轮在海上由西往东行驶，从A、B两个小岛中间穿过．当货轮行驶到点P处时，测得小岛A在正北方向，小岛B位于南偏东24.5°方向；货轮继续前行12海里，到达点Q处，又测得小岛A位于北偏西49°方向，小岛B位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；
（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）分别求出∠QPB和∠QBP的度数，可得∠BPQ=∠PBQ，即可得出PQ=BQ；
（2）在Rt△APQ中，根据PQ的长度和∠AQP，利用三角函数求出AQ的长度，然后根据已知角的度数得出∠AQB=90°，在Rt△AQB中，解直角三角形，即可求得AB的长度．

解答：解：（1）线段BQ与PQ相等．
证明如下：∵∠PQB=90°-41°=49°，
∴∠BPQ=90°-24.5°=65.5°，
∠PBQ=180°-49°-65.5°=65.5°，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴BQ=PQ；

（2）在Rt△APQ中，
∵∠PQA=90°-49°=41°，
∴AQ=

PQ

cos41°

=

12

0.75

=15（海里），
又∵∠AQB=180°-49°-41°=90°，
∴△ABQ是直角三角形，
∵BQ=PQ=12海里，
∴AB²=AQ²+BQ²=16²+12²，
∴AB=20（海里），
答：A、B的距离为20海里．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识解直角三角形，难度一般．