Question

16．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，$\frac{2}{3}$）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；
（2）设OG=x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，$\frac{2}{3}$），
∴k=3×$\frac{2}{3}$=2，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{2}{x}$．
又∵点D（m，2）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴2m=2，解得：m=1．
（2）设OG=x，则CG=OC-OG=2-x，
∵点D（1，2），
∴CD=1．
在Rt△CDG中，∠DCG=90°，CG=2-x，CD=1，DG=OG=x，
∴CD²+CG²=DG²，即1+（2-x）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{4}$，
∴点G（0，$\frac{5}{4}$）．
过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．

由折叠的特性可知：∠GDF=∠GOF=90°，OG=DG，OF=DF．
∵∠CGD+∠CDG=90°，∠CDG+∠HDF=90°，
∴∠CGD=∠HDF，
∵∠DCG=∠FHD=90°，
∴△GCD∽△DHF，
∴$\frac{DF}{GD}=\frac{HF}{CD}$=2，
∴DF=2GD=$\frac{5}{2}$，
∴点F的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）．
设折痕FG所在直线的函数关系式为y=ax+b，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{5}{4}}\\{0=\frac{5}{2}a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$．
∴折痕FG所在直线的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）分别求出点G、F的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．