Question

如图，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF＝1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，

(1)写出上图中与△BEF相似的三角形；

(2)证明其中一对三角形相似；

(3)设BE＝x，MN＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(4)若AE＝1，试求△GMN的面积．

Answer 1

答案：
解析：

答：(1)△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；　　3分 　　证：(2)在△BEF与△AME中， 　　∵∠B＝∠A＝60°， 　　∴∠AEM＋∠AME＝120°　　1分 　　∵∠GEF＝60°，∴∠AEM＋∠BEF＝120° 　　∴∠BEF＝∠AME　　1分 　　∴△BEF∽△AME　　1分 　　解：(3)()当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如下图， 　　∵△BEF∽△AME，∴BE∶AM＝BF∶AE， 　　即：x∶AM＝2∶(3－x)，∴AM＝， 　　同理可证△BEF∽△CFN；∴BE∶CF＝BF∶CN， 　　即：x∶1＝2∶CN，∴CN＝ 　　∵AC＝AM＋MN＋CN，∴3＝＋y＋ 　　∴　()　　1分＋1分 　　(ⅱ)当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一， 　　同上可得：AM＝，CN＝ 　　∵AC＝AM＋CN－MN，∴3＝＋－y 　　∴　()　　1分＋1分 　　(ⅲ)当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二， 　　AM＝，CN＝ 　　∵AC＝MN＋CN－AM，∴3＝y＋－ 　　∴　(x＞3)　　1分＋1分 　　综上所述：() 　　或∴(x≥1)； 　　(4)()当AE＝1时，是边长为1等边三角形， 　　∴；　　1分 　　(ⅱ)当AE＝1时，是有一个角为30°的Rt△，∵x＝4，∴y＝，NG＝， 　　∴．　　1分