Question

正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F．
（1）直接写出∠ACB、∠ACD的大小；
（2）如图1，若点P是对角线AC的中点，求证：DF=CF；
（3）如图2，连接BP，作PE⊥PB交CD边于点E（点E不与D、C重合）；
①求证：DF=EF；
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，不必证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用正方形的性质直接写出，即可解决问题．
（2）运用正方形的性质，借助中位线定理即可解决问题．
（3）①如图，作辅助线，证明△PBQ≌△EPF，即可解决问题．
②证明PA=

2

PM，PC=

2

CF，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．
（2）如图1，∵PF⊥CD，∠D=90°，
∴PF∥AD，而PA=PC，
∴DF=CF．
（3）①DF如图2，过点P作MN∥CD；延长FP交AB于点Q；
则四边形AQPM、四边形PNCF均为正方形，四边形PQBN为矩形；
∴DF=PM=PQ；PN=PF；而BQ=PN，
∴BQ=PF；
∵PE⊥PB，而∠BQP=90°，
∴∠QBP+∠BPQ=∠BPQ+∠FPE，
∴∠QBP=∠FPE；
在△PBQ与△PEF中，

∠PQB=∠EFP BQ=PF ∠QBP=∠FPE

，
∴△PBQ≌△EPF（ASA），
∴PQ=EF；而PQ=DF，
∴EF=DF．
②由勾股定理得：
2PM²=PA²，2CF²=PC²，
∴PA=

2

PM，PC=

2

CF；
∴PA=

2

EF，而CF=CE+EF，
∴PC=

2

（CE+

PA

2

），
整理得：PC-PA=

2

CE．

点评：该题以正方形为载体，以全等三角形的判定及其性质、正方形的性质及其应用等为考查的核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解决．