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正方形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.
(1)直接写出∠ACB、∠ACD的大小;
(2)如图1,若点P是对角线AC的中点,求证:DF=CF;
(3)如图2,连接BP,作PE⊥PB交CD边于点E(点E不与D、C重合);
①求证:DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,不必证明.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)运用正方形的性质直接写出,即可解决问题.
(2)运用正方形的性质,借助中位线定理即可解决问题.
(3)①如图,作辅助线,证明△PBQ≌△EPF,即可解决问题.
②证明PA=
2
PM,PC=
2
CF,即可解决问题.
解答:解:(1)如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ACB=∠ACD=45°.
(2)如图1,∵PF⊥CD,∠D=90°,
∴PF∥AD,而PA=PC,
∴DF=CF.
(3)①DF如图2,过点P作MN∥CD;延长FP交AB于点Q;
则四边形AQPM、四边形PNCF均为正方形,四边形PQBN为矩形;
∴DF=PM=PQ;PN=PF;而BQ=PN,
∴BQ=PF;
∵PE⊥PB,而∠BQP=90°,
∴∠QBP+∠BPQ=∠BPQ+∠FPE,
∴∠QBP=∠FPE;
在△PBQ与△PEF中,
∠PQB=∠EFP
BQ=PF
∠QBP=∠FPE

∴△PBQ≌△EPF(ASA),
∴PQ=EF;而PQ=DF,
∴EF=DF.
②由勾股定理得:
2PM2=PA2,2CF2=PC2
∴PA=
2
PM,PC=
2
CF;
∴PA=
2
EF,而CF=CE+EF,
∴PC=
2
(CE+
PA
2
),
整理得:PC-PA=
2
CE.
点评:该题以正方形为载体,以全等三角形的判定及其性质、正方形的性质及其应用等为考查的核心构造而成;解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解决.
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AD
BD
=(  )
A、
3
2
B、
2
3
C、
6
2
D、
6
3

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已知
a
b
=3,则
a-b
a
的值是
 

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36°18′等于(  )
A、36.6°
B、36.3°
C、36.1°
D、36.2°

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