Question

【题目】已知，点P是等边三角形△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．

（1）求证：△BAP≌△CAQ．

（2）若PA＝3，PB＝4，∠APB＝150°，求PC的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5

【解析】

（1）直接利用旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
（2）直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．

（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，

∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，

∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAP+∠PAC＝60°，AB＝AC，

∴∠BAP＝∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中，

，

∴△BAP≌△CAQ（SAS）；

（2）∵由（1）得△APQ是等边三角形，

∴AP＝PQ＝3，∠AQP＝60°，

∵∠APB＝150°，

∴∠PQC＝150°﹣60°＝90°，

∵PB＝QC，

∴QC＝4，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC＝＝＝5．