Question

【题目】如图，点P在⊙O的直径BA延长线上，PC与⊙O相切，切点为C，点D在⊙O上，连接PD、BD，已知PC=PD=BC．下列结论：
①PD与⊙O相切；
②四边形PCBD是菱形；
③PO=AB；
④∠PDB=120°．
其中，正确的个数是（ ）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①连接CO，DO，

∵PC与⊙O相切，切点为C，
∴∠PCO=90°，
在△PCO和△PDO中，
∵ ，
∴△PCO≌△PDO（SSS），
∴∠PCO=∠PDO=90°，
∴PD与⊙O相切，
故①正确；
②由①得：∠CPB=∠BPD，
在△CPB和△DPB中，
∵ ，
∴△CPB≌△DPB（SAS），
∴BC=BD，
∴PC=PD=BC=BD，
∴四边形PCBD是菱形，
故②正确；
③连接AC，
∵PC=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
在△PCO和△BCA中，
∵ ，
∴△PCO≌△BCA（ASA），
∴AC=CO，
∴AC=CO=AO，
∴∠COA=60°，
∴∠CPO=30°，
∴CO= PO= AB，
∴PO=AB，
故③正确；
④∵四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，
∴DP=DB，则∠DPB=∠DBP=30°，
∴∠PDB=120°，
故④正确；
正确个数有4个，
故答案为：A．
①连接CO，DO，在△PCO和△PDO中，根据边边边可得△PCO≌△PDO，由全等三角形的性质可得∠PCO=∠PDO=90°，根据切线的判断可得PD与⊙O相切，则①符合题意；在△CPB和△DPB中，根据边角边可证△CPB≌△DPB，则BC=BD，结合已知条件可得PC=PD=BC=BD，由菱形的判定可得四边形PCBD是菱形，所以②符合题意；在△PCO和△BCA中，用角边角可证△PCO≌△BCA，由全等三角形的性质可得AC=CO，那么有AC=CO=AO，所以∠COA=60°，∠CPO=30°，根据直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CO= PO= AB，所以PO=AB，故③符合题意；根据四边形PCBD是菱形可得DP=DB，结合∠CPO=30°可得∠DPB=∠DBP=30°，则∠PDB=120°，所以④符合题意。所以符合题意的选项是A。