Question

家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它的电阻R（kΩ）随温度t（℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ．
（1）求当10≤t≤30时，R和t之间的关系式；
（2）求温度在30℃时电阻R的值；并求出t≥30时，R和t之间的关系式；
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？

Answer 1

【答案】分析：（1）设关系为R=，将（10，6）代入求k；
（2）将t=30℃代入关系式中求R’，由题意得R=R’+（t-30）；
（3）将R=6代入R=R’+（t-30）求出t．
解答：解：（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和t之间的关系式为R=，
将（10，6）代入上式中得：6=，
k=60．
故当10≤t≤30时，R=；

（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．
∴温度在30℃时，电阻R=2（kΩ）．
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加kΩ，
∴当t≥30时，
R=2+（t-30）=t-6；

（3）把R=6（kΩ），代入R=t-6得，t=45（℃），
所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．
点评：主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．