Question

如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为

 

时，四边形DECF是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定,全等三角形的判定

专题：

分析：（1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB，AD=BD，由等边对等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，则∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩形DECF是正方形．

解答：（1）证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，
∵C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED与△BFD中，

∠AED=∠BFD=90° ∠A=∠B AD=BD

，
∴△AED≌△BFD（AAS）；

（2）解：若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD=

1

2

AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形，∠CDE=90°-45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案为1．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中．