Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13．

（1）求AE的长；

（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC= ，AB=13，可以求得BE的长，从而可以求得AE的长；
（2）根据在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，可知AE、BD为△ABC的中线，从而可以利用重心定理得到EF的长，由AE⊥BC，从而可以得到tan∠DBC的值．

解：（1）∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°．
∵cos∠ABC=，AB=13，
∴BE=5．
∵在Rt△BEA中，BE2+AE2=AB2，
∴AE= =12．
（2）∵AB=AC，AE⊥BC，
∴AE是BC边上的中线．
又∵BD是AC边上的中线，
∴F是△ABC的重心．
∵AE=12，
∴EF=AE=4．
∵Rt△BEF中，BE=5，EF=4，
∴tan∠DBC=．