Question

18．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，对称轴交x轴于点M．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为（2，-1）．

Answer 1

分析 （1）首先确定A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，连结BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．由线段垂直平分线性质，得AP=BP，推出CB=BP+CP=AP+CP，AC+AP+CP=AC+BC，根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，求出AC、BC的长即可．
（3）观察图象可知当点D在抛物线的顶点时，可得以点A、B、D、E为顶点的四边形为菱形，由此即可求出点D坐标．

解答 解：（1）抛物线与x轴交于点A、B，且AB=2，
根据对称性，得AM=MB=1，
∵对称轴为直线x=2，
∴OA=1，OB=3，
∴点A、B的坐标分别为（1，0）、（3，0），
把A、B两点坐标代入y=x²+bx+c，得到$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．

（2）如图1中，连结BC，与对称轴交点则为点P，连接AP、AC．

由线段垂直平分线性质，得AP=BP，
∴CB=BP+CP=AP+CP，
∴AC+AP+CP=AC+BC，
根据“两点之间，线段最短”，得△APC周长的最小，
∵C为（0，3）
∴OC=3，
在Rt△AOC中，有AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在Rt△BOC中，有BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴△APC的周长的最小值为：$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$．

（3）如图2中，当点D为抛物线的顶点时，EM=DM时，以点A、B、D、E为顶点的四边形是菱形，此时点D（2，-1）

故答案为D（2，-1）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用对称解决最短问题，学会利用菱形的对角线互相垂直解决问题，属于中考压轴题．