Question

关于x的方程x²-（k-2）x+6=0．
（1）若该方程有一根3+

3

，求方程的另一根及k的值；
（2）是否存在实数k，使该方程的两个根的平方和等于4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：如果x₁，x₂的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．）

Answer 1

分析：（1）首先设方程的另一根为α，然后根据根与系数的关系即可求得α的值，继而求得k的值；
（2）首先设x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的两个实数根，根据根与系数的关系，即可得x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，又由方程的两个根的平方和等于4，即可得方程（k-2）²-2×6=4，继而求得k的值．

解答：解：（1）设方程的另一根为α，
∵该方程有一根3+

3

，
∴（3+

3

）α=6，
解得：α=3-

3

，
∴k-2=（3+

3

）（3-

3

）=6，
解得：k=8；
∴方程的另一根为：3-

3

，k的值为6；

（2）存在．
设x₁，x₂是x²-（k-2）x+6=0方程的两个实数根，
则x₁+x₂=k-2，x₁•x₂=6，
∵方程的两个根的平方和等于4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（k-2）²-2×6=4，
解得：k=6或k=-2．

点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．此题难度适中，注意掌握如果x₁，x₂的两根，那么有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

是解此题的关键．