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关于x的方程x2-(k-2)x+6=0.
(1)若该方程有一根3+
3
,求方程的另一根及k的值;
(2)是否存在实数k,使该方程的两个根的平方和等于4?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
(友情提示:如果x1,x2的两根,那么有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
.)
分析:(1)首先设方程的另一根为α,然后根据根与系数的关系即可求得α的值,继而求得k的值;
(2)首先设x1,x2是x2-(k-2)x+6=0方程的两个实数根,根据根与系数的关系,即可得x1+x2=k-2,x1•x2=6,又由方程的两个根的平方和等于4,即可得方程(k-2)2-2×6=4,继而求得k的值.
解答:解:(1)设方程的另一根为α,
∵该方程有一根3+
3

∴(3+
3
)α=6,
解得:α=3-
3

∴k-2=(3+
3
)(3-
3
)=6,
解得:k=8;
∴方程的另一根为:3-
3
,k的值为6;

(2)存在.
设x1,x2是x2-(k-2)x+6=0方程的两个实数根,
则x1+x2=k-2,x1•x2=6,
∵方程的两个根的平方和等于4,
∴x12+x22=(x1+x22-2x1•x2=(k-2)2-2×6=4,
解得:k=6或k=-2.
点评:此题考查了一元二次方程根与系数的关系.此题难度适中,注意掌握如果x1,x2的两根,那么有x1+x2=-
b
a
,x1x2=
c
a
是解此题的关键.
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1
4
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0
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2
x
=3+
2
3
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2
3
x+
2
x
=4+
2
4
的解是x1=4,x2=
2
4
x+
2
x
=5+
2
5
的解是x1=5,x2=
2
5
;…
(1)观察上述方程及其解,可猜想关于x的方程x+
2
x
=a+
2
a
的解是
x1=a,x2=
2
a
x1=a,x2=
2
a

(2)试验证:当x1=a-1,x2=
2
a-1
都是方程x+
2
x
=a+
2
a-1
-1
的解;
(3)利用你猜想的结论,解关于x的方程
x2-x+2
x-1
=a+
2
a-1

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x2+4
x(x-2)
-
x
x-2
=
a
x
无解,求a的值?

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