Question

如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．
（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；
（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据相似三角形的性质，判定△ABP∽△DPQ列出方程求解；
（2）能根据矩形的性质，判定△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ列出方程求解即可．

解答：解：（1）设AP=xcm，则PD=（10-x）cm，
因为∠A=∠D=90°，∠BPC=90°，
所以∠DPC=∠ABP，
所以△ABP∽△DPC，
则

AB

PD

=

AP

DC

，即AB•DC=PD•AP，
所以4×4=x（10-x），即x²-10x+16=0，
解得x₁=2，x₂=8，
所以可以使三角板两直角边分别通过点B与点C，AP=2cm或8cm；

（2）能．
设AP=xcm，CQ=ycm．
∵ABCD是矩形，∠HPF=90°，
∴△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ，
∴

AP

CQ

=

AB

CE

，

AP

DQ

=

AB

PD

，
∴AP•CE=AB•CQ，AP•PD=AB•DQ，
∴2x=4y，即y=

x

2

，
∴x（10-x）=4（4+y），
∵y=

x

2

，
即x²-8x+16=0，
解得x₁=x₂=4，
∴AP=4cm，
即在AP=4cm时，CE=2 cm．

点评：本题考查主要对一元二次方程的应用，而且还得知道矩形的性质，知道相似三角形的性质，可以正确判定相似三角形．