Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。

（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若（1）中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=,  求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积。（结果保留根号和）

Answer 1

1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。

 

判断结果：BC是⊙O的切线。连结OD。

  ∵AD平分∠BAC      ∴∠DAC=∠DAB

∵OA=OD              ∴∠ODA=∠DAB

∴∠DAC=∠ODA       ∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C

∵∠C=90º            ∴∠ODB=90º  即：OD⊥BC

∵OD是⊙O的半径      ∴ BC是⊙O的切线。

(2) 如图，连结DE。

   设⊙O的半径为r，则OB=6-r，

在Rt△ODB中，∠ODB=90º，

∴ 0B²=OD²+BD²        即：(6-r)²= r²+()²     

∴r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º

∵△ODB的面积为，扇形ODE的面积为

∴阴影部分的面积为—。