Question

如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．
（1）求证：△AEF≌△BED．
（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）AAS或ASA证全等；
（2）根据对角线互相平分的证明四边形AFBD是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一证明∠ADB=90°，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．

解答：证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠EDB，
∵E为AB的中点，
∴EA=EB，
在△AEF和△BED中，

∠AFE=∠EDB EA=EB ∠BED=∠AEF

，
∴△AEF≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEF≌△BED，
∴AF=BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BD，
∴四边形AFBD是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性质，能够了解矩形的判定定理是解答本题的关键，难度不大．